Melanjutkan Tentang Keindahan Geometri Fraktal….

Ditulis Oleh : Refi Elfira Yuliani

1. Pendahuluan

Geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku fraktal. Kata fraktal pertama kali dicetuskan oleh Mandelbrot pada tahun 1975, ketika makalahnya yang berjudul “ A Theory of Fractal Set “ dipublikasikan. Bahasa Inggris dari fraktal adalah fractal. Sedangkan akar kata fraktal berasal dari kata latin frangere yang berarti terbelah menjadi fragmen-fragmen yang tidak teratur.

Fraktal adalah bentuk apa saja yang jikalau bagian-bagian dari bentuk itu diperbesar akan terkuak rincian yang sebanyak-banyaknya seperti bagian fraktal keseluruhannya. Berbeda dengan garis lurus yang biasa kita gambar, fraktal tidaklah mudah dibuat dengan goresan tangan.

Berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-benda matematis. Ada banyak bentuk matematis yang merupakan fraktal, antara lain Sierpinski triangle, Koch snowflake, Peano curve, Mandelbrot set, dan Lorenz attractor. Fraktal juga banyak menggambarkan objek-objek di dunia nyata, seperti awan, pegunungan, turbulensi, dan garis pantai, yang mempunyai bentuk geometri yang rumit.

Secara umum fraktal bentuknya tidak teratur (tidak halus), merupakan bentuk yang tidak berdasarkan linearitas, jadi bukan termasuk benda yang terdefinisikan oleh geometri tradisional. Fraktal memiliki detil yang tak hingga dan dapat memiliki struktur serupa diri pada tingkat perbesaran yang berbeda. Pada banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam proses rekursif atau iteratif.

Fraktal bisa membantu menjelaskan banyak situasi yang sulit dideskripsikan menggunakan geometri klasik, dan sudah cukup banyak diaplikasikan dalam sains, teknologi, dan seni karya komputer. Karena keindahannya, fraktal banyak dipakai dalam computer graphics untuk menciptakan bentuk-bentuk yang alami bahkan menakjubkan.

Keberadaan geometri fraktal menunjukkan bahwa matematika bukanlah subjek yang kering dan datar, tetapi merupakan suatu subjek yang indah dan dapat menghasilkan karya-karya yang memiliki citra seni dan nilai intelektual yang tinggi. Sebagaimana yang dikatakan oleh Barnsley (1993:1) seorang pakar fraktal yang terkenal saat ini bahwa    geometri fraktal merupakan bahasa baru. Begitu terucapkan, kita dapat menggambarkan awan sama persisnya seperti seorang arsitek dapat menggambarkan rumah.

 

 2. Sejarah Geometri Fraktal

Benda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan dipelajari jauh sebelum kata fraktal muncul. Berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-benda matematis. Sebelum Mandelbrot memperkenalkan istilah fraktal, nama umum untuk struktur semacamnya (misalnya bunga salju koch) adalah kurva monster. Selanjutnya ide-ide konsepsual fraktal muncul saat definisi-definisi tradisional geometri Euclid dan kalkulus gagal melakukan berbagai pengukuran pada benda-benda monster tersebut.

Sadar atau tidak, selama ini telah tertanam pengertian geometri dari suatu bentuk berdasarkan gagasan yang dicetuskan oleh Euclid dari Alexandria (300 SM) dan Descartes dari Perancis (permulaan abad 16). Euclid membuat aksioma bahwa garis adalah ”panjang yang tak bertebal”. Dari aksioma ini kemudian dapat dibuat aturan -aturan logika konsisten yang dapat menerangkan tentang titik, garis lurus, dan bentuk-bentuk sederhana. Descartes memajukan gagasan bahwa alam raya ini seharusnya dapat diukur melalui tiga buah garis yang tegak lurus satu sama lain. Dengan tiga garis lurus ini lokasi benda apa saja dapat diketahui dengan tepat. Sebagai konsekuensinya, semua benda dapat dilihat sebagai suatu susunan raksasa dari kubus-kubus yang sangat kecil. Gagasan ini telah membentuk suatu pandangan ilmiah modern mengenai dunia.

Berdasarkan kesimpulan logis dari pandangan di atas, Sir Isaac Newton dan Baron Gottfried von Leibnitz menemukan kalkulus diferensial. Dalam diferensial kalkulus semua bentuk lengkung atau kurva berubah menjadi lurus,  sehingga persamaan linier dapat digunakan untuk kurva. Leibnitz mengajukan gagasan bahwa semua kurva terdiri dari segmen-segmen yang kecil tidak berhingga yang disebutnya sebagai ”garis-garis tangen atau diferensial ”. Jika sisi suatu kurva diperbesar akan semakin terlihat seperti sebuah garis lurus.

Kalkulus memberikan suatu ”limit” untuk proses pembesaran ini yaitu : kurva akan menyerupai garis lurus pada perbesaran yang tidak hingga. Hingga saat ini semua orang menggunakan teknik ”diferensiasi” dan kebalikannya, yaitu ’integrasi” untuk merumuskan dan memahami kejadian alam. Walaupun tidak diketahui apakah gagasan Leibnitz itu benar, semua orang tetap bersandar dan percaya bahwa sebuah kurva tidak lebih dan tidak bukan terdiri dari sejumlah tak berhingga segmen-segmen garis lurus. Pencarian kebenaran akan hal ini terus memperdebatkan antara ”limit” ketika perbesaran ” mendekati’ tidak berhingga dan apa yang terjadi ketika terjadi perbesaran yang tak berhingga.     

Pada tahun 1872 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, seorang jenius jerman menemukan contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun namun tidak terdiferensiasi di manapun-grafik dari fungsi tersebut akan disebut fraktal di masa sekarang. Perdebatan dimulai ketika pada tahun 1875 ketika Karl Weirstrass, menjelaskan bahwa kurva kontinyu tidak dapat dideferensiasi, dengan demikian jelas tidak ada garis-garis tangen.

Memasuki abad berikutnya sejumlah kurva-kurva aneh tiba-tiba muncul ke permukaan. Waclaw Sierpinski, matematikawan polandia membuat sebuah segitiga sama sisi yang kemudian dibaginya menjadi empat belahan berukuran sama. Dengan cara yang sama Sierpinski meneruskan pembagian tersebut untuk segitiga-segitiga lain yang lebih kecil. Bentuk yang sangat terkenal ini dinamakan orang segitiga Sierspinski. Jika pembagian dilanjutkan hingga jumlah yang tak hingga, maka sulit untuk membayangkan bentuk detilnya walau tidak ada satupun hukum-hukum matmatika yang dilanggar. Yang jelas jika salah satu bagian yang gelap diambil dan kemudian diperbesar mendekati tak berhingga, maka akan didapatkan bentuk segitiga seperti bentuk keseluruhanya. Segitiga Sierspinski mungkin adalah bentuk dari ”pra-fraktal” pertama yang paling terkenal.

Cara lain untuk membuat segitiga Sierspinski adalah dengan mula-mula membuat segitiga yang berisi, kemudian segitiga ini dilubangi di tengah-tengahnya dan di ketiga bagian sudut-sudutnya dengan segitiga yang berukuran lebih kecil. Selanjutnya proses pelubangan yang sama untuk setiap sisa segitiga yang masih berisi diulangi terus hingga jumlah yang tak berhingga. Sehingga akan diperoleh segitiga yang sama yang dikenal dengan nama Gasket Sierspinski.  

  Sierspinski mempertanyakan apakah luas yang ditutupi oleh bentuk tersebut nol atau tidak. Inilah teka-teki yang membingungkan yang mirip dengan ketidakpastian Leibnitz akan gagasannya sendiri tentang kurva yang menjadi garis lurus pada perbesaran mendekati tak berhingga.

Dalam setiap langkah hanya ¼ dari luas daerah berisi saja yang diambil, dan ¾ bagian sisanya atau sebagian besar masih tetap berisi. Berapapun banyaknya proses pelubangan yang dilakukan akan tetap didapatkan luas daerah berisi yang lebih besar dari luas yang diambil setiap kalinya. Jadi luas bentuk ini tidak akan pernah mencapai nol.

Di tahun 1904 Helge von Koch, tidak puas dengan definisi Weierstrass yang sangat abstrak dan analitis, memberikan definisi yang lebih geometris untuk fungsi yang mirip. Ia menemukan bentuk yang terkenal dengan Garis Pantai Koch. Koch memulai pembentukan garis pantai matematisnya dengan sebuah garis kemudian di atas garis tersebut dibangun sebuh segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1/3 dari garis yang pertama. Kemudian pada setiap segmen garis dibangun lagi segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1/3 dari segment garis. Proses ini dilakukan terus hingga kepengulangan yang tidak berhingga.

Masih terdapat lagi bentuk-bentuk geometri aneh misalnya Debu Cantor, Fourniers’s Multinuiverse, dan Devil Staircase, dan lain-lain. Semua bentuk-bentuk tersebut pada dasarnya mempertanyakan gagasan Euclid dan Descartes. Bentuk-bentuk tersebut adalah bentuk yang sekarang dikenal dengan nama geometri fraktal.  

Ide mengenai kurva-kurva serupa diri dikembangkan lebih jauh oleh Paul Pierre Lévy, yang mengenalkan kurva fraktal baru bernama kurva Lévy C dalam tulisannya pada tahun 1938 berjudul Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole.

Georg Cantor memberi contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis riil dengan sifat yang tidak wajar-himpunan Cantor tersebut juga sekarang dikenal sebagai fraktal. Fungsi teriterasi di bidang kompleks telah diselidiki pada akhir abad 19 dan awal abad 20 oleh Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, dan Gaston Julia. Namun tanpa bantuan grafika komputer modern, mereka tidak dapat melihat keindahan visual benda-benda yang mereka temukan. Dalam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan Cantor, matematikawan seperti Constantin Carathéodory dan Felix Hausdorff menggeneralisasi konsep intuitif dimensi agar memungkinkan nilai nonbulat. Ini termasuk bagian dari gerakan di pertengahan awal abad kedua puluh yang bertujuan menciptakan teori himpunan deskriptif, yaitu kelanjutan dari arah riset Cantor yang dapat mengklasifikasi himpunan titik-titik pada ruang Euclid. Definisi dimensi Hausdorff secara alami adalah geometris, walaupun didasarkan pada perkakas dari analisis matematis. Pendekatan ini digunakan oleh beberapa orang termasuk Besicovitch, yang berbeda dengan investigasi logis yang membangun sebagian besar teori himpunan deskriptif masa 1920-an dan 1930-an. Kedua bidang tersebut ditelusuri selama beberapa waktu setelahnya, terutama oleh para spesialis. Pada tahun 1960-an Benoît Mandelbrot mulai menyelidiki keserupa dirian dalam berbagai tulisannya seperti How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Penyelidikannya merupakan pengembangan dari penelitian Lewis Fry Richardson. Dengan pendekatan yang sangat visual, Mandelbrot mendapatkan hubungan dari berbagai topik matematika yang sebelumnya tidak berkaitan. Di tahun 1975, Mandelbrot menggunakan kata fractal untuk mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak memiliki dimensi yang jelas.

3. Definisi Fraktal

Karakteristik fraktal, walaupun mudah dimengerti secara intuitif, ternyata sangat susah untuk dibuat definisi matematisnya. Terdapat beberapa definisi  fraktal, beberapa definisi diantaranya memakai ketentuan matematik dan statistik yang sukar dimengerti pembaca awam. Mandelbrot mendefinisikan fraktal sebagai “himpunan yang dimensi Hausdorff Besicovitchnya lebih besar dari dimensi topologisnya“. Untuk fraktal yang serupa diri secara persis, dimensi Hausdorffnya sama dengan dimensi Minkowsi Bouligandnya.

Bransley, seorang pakar fraktal ternama saat ini, enggan mendefinisikan apa itu fraktal. Dia hanya mengatakan bahwa fraktal adalah subset (sub himpunan) dari sebuah set (himpunan). Set biasanya dari geometri euclidean yang sederhana seperti bentuk segibanyak, lingkaran, kubus, bola, sedangkan subset berbentuk yang sangat ”rumit”.

Selanjutnya Bransley mendefinisikan bahwa suatu ruang X adalah set (himpunan). Titik-titik pada ruang adalah anggota himpunan tersebut. Dalam bukunya yang berjudul ”Fractal Everywhere”, Bransley membahas secara detil mengenai ruang metrik yang terkait dengan geometri fraktal. Hal-hal yang dibahas pada ruang metrik meliputi ekivalen pada ruang metrik, topologi pada ruang metrik, serta transformasi pada ruang metrik. Selain itu, Bransley juga mengkaji mengenai dinamical chaostik, dimensi fraktal, interpolasi fraktal, himpunan Julia, Parameter ruang dan himpunan mandelbrot, pengukuran pada fraktal, aplikasi untuk komputer grafis, dan sistem fungsi iterasi yang dapat digunakan untuk membangun suatu fraktal.  

4. Dimensi Fraktal.

Persoalan membandingkan panjang yang tidak berhingga dan luas yang kecil tidak berhingga sebenarnya adalah seperti persoalan membandingkan dua sisi dari sebuah uang logam yang sama. Abad ke 20 telah membawa pemikiran manusia kepada kebutuhan yang sangat mendesak terhadap suatu cara baru dalam mengukur ruang dan dimensi. Dua orang matematikawan yaitu Felix Hausdroff dan Abram S. Besicovith telah menjawab persoalan pelik ini. Mereka bukan saja secara harfiah menguak dimensi yang baru tetapi juga telah mendefinisikan ulang dimensi itu sendiri. Setiap bentuk, oleh karena tradisi yang dilandasi oleh gagasan Descartes, memiliki dimensi misalnya 0 (titik), 1 (garis lurus dan kurva), 2 (bidang), atau 3 (ruang).

            Secara teoritis, dimensi ini telah diperluas termasuk dimensi keempat dan dimensi-dimensi yang lebih tinggi yang sulit untuk dibayangkan. Dengan memperluas karya dari Hausdroff, Besicovitch memajukan gagasan bahwa sebuah bentuk sebenarnya dapat memiliki ”dimensi pecahan”, seperti misalnya 1.5 atau 2.3. Dimensi kurva-kurva seperti segitiga Sierspinski dan garis pantai Koch harus dinyatakan dengan dimensi pecahan. Dengan demikian, tingkah laku yang ganjil dari kurva-kurva tersebut dapat dijelaskan. Dimensi pecahan ini dapat dihitung dengan tepat berdasarkan pengukuran dari sebuah kurva.

            Dimensi Hausdroff/Besicovith didefinisikan sebagai nisbah dari logaritma jumlah salinan ukuran dari bentuk benih relatif terhadap setiap salinan. Karena ada 4 salinan (4 segmen garis ) dan setiap salinan memiliki ukuran 1/3 ukuran benih, maka menurut definisi ini dimensi garis pantai Koch adalah log(4)/log (3) = 0.6021/0.4771 = 1.262.

            Jika ada dua bentuk yang memilki dimensi pecahan yang berbeda misalnya 1.26 dan 1.46, maka tidak dapat dikatakan bahwa bentuk yang pertama ”memiliki panjang yang tak berhingga lebih panjang” atau ”mengisi luasan yang kecil tak berhingga lebih banyak” dari yang kedua. Untuk lebih mudah dipahami, hal itu hanya dapat dinyatakan bahwa dimensi bentuk itu ”lebih dekat dengan dua dimensi”. Lebih lanjut lagi dapat dikatakan sampai seberapa jauh bentuk itu ”mengisi bidang”.

            Dalam kenyataannya, penggunaan gagasan dimensi pecahan telah melangkah lebih jauh dari apa yang dibayangkan oleh pencetusnya. Karena alam berlimpah dengan bentuk-bentuk swa-reflektif (self-reflecif) seperti garis pantai. Maka kebanyakan dari alam sekitar dapat  dicirikan dengan indeks yang baru ini. Pegunungan, awan, pohon-pohon, dan bunga-bunga semuanya memiliki dimensi antara dua dan tiga, dan ciri dari suatu bentuk dapat dibaca dari dimensinya. Garis pantai pulau Sulawesi yang kasar memiliki dimensi pecahan yang lebih besar dari pada garis pantai Bali yang halus. Gumpalan awan”mengisi ruang” lebih banyak dari kabut tipis, dan bangunan indah seperti Borobudur memiliki dimensi pecahan yang lebih besar dari pencakar lagit di Jakarta.

            Istilah dimensi pecahan kemudian oleh Benoit Mandelbrot diganti menjadi”dimensi fraktal”. Dimensi ini jauh lebih penting artinya bagi matematikawan karena mereka mendadak saja mampu mengukur keseluruhan bentuk-bentuk dalam jagad raya yang sebelumnya tidak bisa diukur. Untuk pertama kalinya sejak Descartes, sebuah meter pengukur ruang yang baru telah tercipta, meskipun apa yang telah diukur tetap belum diketahui secara pasti. Yang pasti Sierspinski, Koch, dan Hausdroff, tidak mengira bahwa perjalanan mereka ke tempat tak berhingga dari bentuk-bentuk abstrak dan ”tidak alamiah” akan kembali kepada ”geometri alam” sejati yang pertama. 

5. Pengelompokan Fraktal

Fraktal bisa dikelompokkan menjadi tiga kategori luas. Pengelompokan berikut didasarkan pada cara pendefinisian atau pembuatannya.

·         Sistem fungsi teriterasi-Contohnya adalah himpunan Cantor, karpet Sierpinski, kurva Peano, garis pantai Koch,  kurva naga Harter-Heighway, kotak T, dan spons Menger.

·         Fraktal waktu lolos-Contohnya adalah himpunan Mandelbrot dan fraktal Lyapuanov.

·         Fraktal acak, dihasilkan melalui proses stokastik, misalnya landskap fraktal dan penerbangan Levy.

Fraktal juga bisa dikelompokkan berdasarkan keserupa diriannya. Ada tiga tingkat keperupa dirian pada fraktal:

·         Serupa diri secara persis-Ini adalah keserupa dirian yang paling kuat. Fraktalnya terlihat sama persis pada berbagai skala. Fraktal yang didefinisikan oleh sistem fungsi teriterasi biasanya bersifat serupa diri secara persis.

·         Serupa diri secara lemah-Ini adalah keserupa dirian yang tidak terlalu ketat. Fraktalnya terlihat mirip (tapi tidak persis sama) pada skala yang berbeda. Fraktal jenis ini memuat salinan dirinya sendiri dalam bentuk yang terdistorsi maupun rusak.

·         Serupa diri secara statistik-Ini adalah keserupadirian yang paling lemah. Fraktalnya memiliki ukuran numeris atau statistik yang terjaga pada skala yang berbeda. Kebanyakan definisi fraktal yang wajar secara trivial mengharuskan suatu bentuk keserupa dirian statistik. Dimensi fraktal sendiri adalah ukuran numeris yang nilainya terjaga pada berbagai skala. Fraktal acak adalah contoh fraktal yang serupa diri secara statistik, tapi tidak serupa diri secara persis maupun lemah.

Perlu dicatat bahwa tidak semua benda yang serupa diri adalah fraktal-misalnya garis riil (garis Euclid lurus) bersifat serupa diri, tapi argumen bahwa benda-benda Euclid adalah fraktal merupakan minoritas. Mandelbrot berargumen bahwa definisi “fraktal” sepatutnya menyertakan tidak hanya fraktal “sebenarnya”, namun juga benda-benda Euclid tradisional, karena bilangan irasional di garis bilangan memiliki sifat-sifat kompleks dan tidak berulang.

6. Contoh-contoh Fraktal

Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandlebrot, fraktal Lyapunov, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger, kurva naga, kurva Peano, dan kurva Koch. Fraktal bisa deterministik maupun stokastik. Sistem dinamikal chaotis sering (bahkan mungkin selalu) dihubungkan dengan fraktal.

Benda-benda yang mendekati fraktal bisa ditemukan dengan mudah di alam. Benda-benda tersebut menunjukkan struktur fraktal yang kompleks pada skala tertentu. Contohnya adalah awan, gunung, jaringan sungai, dan sistem pembuluh darah. Pohon dan pakis, juga merupakan contoh fraktal di alam dan dapat dimodel pada komputer menggunakan algoritma rekursif. Sifat rekursifnya bisa dilihat dengan mudah-ambil satu cabang dari suatu pohon dan akan terlihat bahwa cabang tersebut adalah miniatur dari pohonnya secara keseluruhan (tidak sama persis, tapi mirip).                    

7. Aplikasi Fraktal

Setelah visualisasi komputer diaplikasikan pada geometri fraktal, dapat disajikan argumen-argumen visual yang ampuh untuk menunjukkan bahwa geometri fraktal menghubungkan banyak bidang matematika dan sains, jauh lebih besar dan luas dari yang sebelumnya diperkirakan. Bidang-bidang yang terhubungkan oleh geometri fraktal terutama adalah dinamika nonlinier, teori chaos, dan kompleksitas. Salah satu contoh adalah menggambar metode Newton sebagai fraktal yang ternyata menunjukkan bahwa batas antara penyelesaian yang berbeda adalah fraktal dan penyelesaiannya sendiri adalah atraktor aneh. Geometri fraktal juga telah digunakan untuk kompresi data dan memodel sistem geologis dan organis yang kompleks, seperti pertumbuhan pohon dan perkembangan lembah sungai.

Fraktal banyak diaplikasikan  pada bidang:

·         Klasifikasi slide histopatologi di ilmu kedokteran

·         Pembuatan musik jenis baru

·         Pembuatan berbagai bentuk karya seni baru

·         Kompresi data dan sinyal

·         Seismologi

·         Kosmologi

8. Program Penghasil Fraktal

Fraktal biasanya digambar oleh komputer dengan perangkat lunak fraktal. Berikut ini adalah beberapa software yang dapat digunakan untuk menghasilkan program fraktal.

Multi-platform

  •  Xaos-Generator realtime — Windows, Mac, Linux, dll
  • Fractint-Tersedia untuk sebagian besar platform
  • FLAM3-Untuk mendesain dan merender iterated function system (IFS), tersedia untuk semua platform
  • Fract-Program berbasis web untuk mengeksplorasi fraktal
  • Online Fractal GeneratorMembutuhkan plugin Java

Linux.

  • Gnfract4dPenyunting interaktif yang bisa menggunakan banyak rumus Fractint

Windows

  • Fractovias’s listing of fractal generators-Berisi daftar yang cukup lengkap tentang program penghasil fraktal gratis
  • Ultra Fractal- Perangkat lunak populer untuk Microsoft Windows
  • ChaosPro
  • MSPlotter-Program Windows gratis yang menggunakan fraktal untuk membuat gambar bitmap dan klip video AVI
  • FractalExplorer
  • Sterling Fractal- Program penghasil fraktal tingkat lanjut oleh Stephen Ferguson.
  • Ktaza: freeware by S. Ferguson.

Mac

  • Altivec Fractal Carbon-Program benchmark untuk Mac, menggunakan fraktal untuk mengukur kemampuan.
  • Zone Explorer-dapat membuat rumus dan pewarnaan sendiri

 

DAFTAR PUSTAKA

Barnsley, Michael F. 1993. Fractal Everywhere. Academic Press Proffesional. United States of America.

Fitrianingrum. 2007. Fractal-Geometry.  http://fitrianingrum.wordpress.com/2007/09/18/

Diaksess tanggal 23 Mei 2008

Utama, Widia. Geometri Fraktal Bahasa Indah Matematika. Mikrodata 6 Seri 11.

 

 

 

2 Komentar »

  1. ris Said:

    Good. Kalo bisa, teori fraktal untuk Grafika Komputer serta contoh programnya pake Delphi, saya butuh sekali. trim’s

  2. ri2e Said:

    wah…thanks bgt mas,,,rie butuh bgt bahan ni,,,
    tapi ad yang kurang,,, jelasin juga dunk cara mencari dimensi fraktal dari suatu geometri….dengan contohnya plis,,,,,


{ RSS feed for comments on this post} · { TrackBack URI }

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: